Approssimazione di tacchino sferico

Ieri era Thanksgiving; domani, se non nevica troppo, andrò a dare una mano alla manifestazione di protesta organizzata dal Coordinamento dei genitori (qui il programma). Perchè le due cose stanno insieme in un post?

Cominciamo dalla seconda. L'idea è di organizzare piccoli laboratori, dimostrazioni, brevi lezioni per i bambini e dimostrare il valore del Tempo Pieno. Da parte mia, pensavo di illustrare la differenza tra peso e pressione sdraiandomi su un letto di chiodi. L'idea è semplice: se appoggio tutto il mio peso, diciamo ottimisticamente una settantina di chili, su un solo chiodo mi faccio male; ma se distribuisco il peso su mille chiodi la forza esercitata da ciascun chiodo è solo di settanta grammi, più che sopportabile. La cosa interessante è che, facendo un po' di attenzione, si può far provare a chiunque l'emozione di fare il fakiro sul letto di chiodi. Ma in questo caso molti saranno bambini: per un bambino sarà sicuro come per un adulto o rischierà di farsi male?

Ed ecco che viene in nostro soccorso il Giorno del Ringraziamento. A Thanksgiving gli americani mangiano il tacchino ripieno. W. K. H. "Pief" Panofsky, un eminente fisico fondatore e a lungo direttore del laboratorio dell'acceleratore lineare di Stanford, non era però soddisfatto della ricetta che prescrive di cuocere il tacchino mezz'ora per ogni libbra di peso: l'ho scoperto qui. Ragionando da fisico, ha dato il suo contributo alla scienza scrivendo un'equazione più precisa (OK, ha fatto anche qualche altra cosetta).

Per cuocere il tacchino lo si mette nel forno caldo, dove il calore si trasmette dall'aria alla carne del tacchino attraverso la superficie. La quantità di calore necessaria per cuocerlo dipende dal peso (o, per essere pignoli, dalla massa) del tacchino, che è proporzionale al suo volume.
La velocità alla quale il calore "entra" nel tacchino dipende da quanto è grande la superficie esposta. È la ragione per cui i termosifoni hanno quelle forme complicate invece di essere dei bei parallelepipedi lisci: aumentare la superficie in modo da trasmettere meglio il calore all'aria circostante. Abbiamo quindi qualcosa che dipende dal volume di un oggetto (la quantità di calore necessaria) e qualcosa che dipende dalla sua superficie (la velocità con cui questo calore è trasmesso): il tempo necessario sarà proporzionale al volume diviso la superficie. Per semplicità, mettiamoci ora nell'approssimazione di tacchino sferico: il suo volume è proporzionale al cubo del raggio (il volume della sfera è quattroterzi pigreco erretrè), mentre la superficie è proporzionale al quadrato del raggio (4πr² per i precisini). Il tempo necessario per cuocere il tacchino sarà quindi proporzionale al cubo del raggio diviso il quadrato del raggio, che fa semplicemente il raggio del nostro tacchino sferico. Sorpresa! La ricetta dovrebbe suggerire di cuocere il tacchino in proporzione non al suo peso, ma alla sua lunghezza.

Il problema è che generalmente il tacchino non è sferico, e quindi non ha un raggio ben definito. Per ottenere finalmente l'equazione di Panofsky (vi risparmio i passaggi: servono le radici cubiche e la densità del tacchino) esprimiamo volume e superficie in funzione del peso W, e raccogliamo tutte le costanti dentro k:
t = kW^(2/3)
A questo punto k è una costante che si può determinare sperimentalmente: per un forno alla temperatura raccomandata di 325°F (circa 163°C) Panofsky ottiene k=1/1.5 (per t in ore e W in libbre; con k=1.79).

Troppo complicato? Godetevi il tacchino: la mia ricetta è qui.

E il letto di chiodi? Il problema è molto simile. La forza con cui ciascun chiodo preme sulla pelle è direttamente proporzionale al peso della persona, ed inversamente proporzionale al numero di chiodi. Il peso è a sua volta proporzionale al volume, ed il numero di chiodi alla superficie, per cui la forza è proporzionale al volume diviso la superficie. Queste, approssimativamente, sono proporzionali rispettivamente al cubo ed al quadrato dell'altezza della persona (o al suo raggio, in approssimazione di persona sferica). La forza è proporzionale al loro rapporto, quindi

F ~ V/S ~ L³/L² = L

La forza esercitata da ciascun chiodo è proporzionale all'altezza della persona: un bambino, purchè non si agiti troppo, si fa meno male di una adulto. Grazie al dr. Panofsky per la dritta, stasera faccio provare a Nicolò.